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Themen für die Kurzreferate in der ersten Kursphase

Restklassen

• Definition von Kongruenz und von Restklassen
• Addieren und Multiplizieren von Restklassen
• elementare Eigenschaften

Anwendungen der Restklassenrechnung

• Problemlösen mit Hilfe der Restklassenrechnung
• Teilbarkeitsregeln

Gruppen

• Definition einer Gruppe
• Beispiele

Ringe und Körper

• Definition von Ringen und Körpern
• Beispiele

Die Einheitengruppe im Restklassenring

• Definition
• Gruppeneigenschaft
• Kleiner Fermat'scher Satz

Der Ring der für p ganzen Zahlen

• Definition
• Beispielrechnungen
• Ringeigenschaft

Stellenwertsysteme

• Darstellung von ganzen Zahlen
• Darstellung von Brüchen
• Umrechnung

Beträge

• Definition einer Betragsfunktion
• elementare Eigenschaften
• archimedische und nichtarchimedische Beträge
• p-adische Beträge auf Q

Das quadratische Reziprozitätsgesetz

• Legendre-Symbol
• Rechenregeln
• Anwendung auf die Lösbarkeit von Kongruenzen

Diophantische Gleichungen

• Beispiele für diophantische Gleichungen
• einfache Lösungsansätze

Folgen und Konvergenz

• Definition von Folgen und Konvergenz
• Einfache Konvergenzsätze
• Beispiele

Reihen

• Definition von Reihen
• Beispiele (harmonische Reihe)
• Die geometrische Reihe, Konvergenzverhalten

Äquivalenzrelationen

• Eigenschaften von Äquivalenzrelationen
• Beispiele
• Aufteilen von Mengen in Äquivalenzklassen

Quotientenkörper

• Äquivalenzklassen von Zahlenpaaren
• Addition und Multiplikation
• Körpereigenschaft

Cauchy-Folgen

• Erklären des Cauchy-Kriteriums
• Summen, Produkte, multiplikative Inverse von Cauchy-Folgen
• Beispiele (z. B. Dezimaldarstellung)

Vervollständigung

• Äquivalenz von Cauchy-Folgen
• Konstruktion der reellen Zahlen als Vervollständigung der rationalen Zahlen